一、定义

后续遍历是指深度优先遍历二叉树的一种方式，它遵循以下规则：

左子树

右子树

根节点

二、算法

给定二叉树的根节点 `root`，后续遍历算法的伪代码如下：

```

def postorder_traversal(root):

if not root:

return

postorder_traversal(root.left)

postorder_traversal(root.right)

print(root.val)

```

三、时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度：O(n)，其中 n 为二叉树中的节点数。

空间复杂度：O(h)，其中 h 为二叉树的高度。

四、应用

后续遍历可用于以下应用：

反向输出前序遍历序列：后续遍历序列的反转就是前序遍历序列。

检查树是否是对称的：对称树的左子树的后续遍历序列和右子树的后序遍历序列相同。

计算树的直径：树的直径是两个最远节点之间的路径长度，可以通过后续遍历计算。

表达式的后缀表示法：表达式树的后续遍历序列可以表示出表达式的后缀表示法。

五、性质

后续遍历序列的最后一个元素始终是根节点。

对于每个非叶节点，其左子树和右子树的后序遍历序列出现在其自身的后序遍历序列之前。

对于任何两个相邻元素 a 和 b，如果 a 是 b 的祖先，那么 a 的后序遍历序列肯定出现在 b 之前。

六、从后续遍历序列构建二叉树

给定一个只包含非零整数的后续遍历序列， można 唯一地重建二叉树。算法如下：

1. 最后一个元素是根节点。

2. 从末尾开始搜索第一个大于根节点的元素。

3. 左子树的后序遍历序列是该元素之前的所有元素。

4. 右子树的后序遍历序列是该元素之后的所有元素。

5. 递归地应用步骤 2-4 构建左子树和右子树。

七、判断后续遍历序列是否有效

判断一个后续遍历序列是否有效，可以采用以下方法：

1. 检查最后一个元素是否大于 0。

2. 使用栈存储每个已处理的节点。

3. 从末尾开始遍历序列。

4. 如果当前元素大于栈顶元素，则将其压入栈中。

5. 如果当前元素小于栈顶元素，则序列无效。

6. 重复步骤 4-5，直到处理完整个序列。

八、后续遍历变体

中序遍历：根节点在前序遍历序列中的位置称为中序遍历，可以用后续遍历序列简单修改实现。

后序遍历非递归：可以使用两个栈来实现后序遍历的非递归版本。

Morris 遍历：Morris 遍历是后序遍历的一种变体，它不需要使用栈或递归。

九、示例

考虑以下二叉树：

```

1

/ \

2 3

\

4

```

其后续遍历序列为：

```

2 4 3 1

```

十、与其他遍历方式的比较

先序遍历：先序遍历以根节点开始，其次是左子树，最后是右子树。

中序遍历：中序遍历以左子树开始，其次是根节点，最后是右子树。

后序遍历：后序遍历以左子树开始，其次是右子树，最后是根节点。

十一、注意事项

后续遍历序列不是唯一的，对于不同的二叉树可以产生相同的后序遍历序列。

后续遍历序列不能用于重建具有相同节点值的二叉树。

十二、高级应用

后序遍历可用于解决更高级的问题：

表达式求值：可以使用后续遍历序列求值中缀表达式。

语法分析：后序遍历序列可用于语法分析，例如 LR(1) 解析器。

并查集：后序遍历序列可用于实现并查集数据结构。

十三、相关算法

莫里斯遍历

中序遍历

先序遍历

十四、实现

可以使用递归或非递归方法实现后续遍历。以下是一个使用递归的 Python 实现：

```python

def postorder_traversal(root):

if not root:

return

postorder_traversal(root.left)

postorder_traversal(root.right)

print(root.val)

```

十五、练习题

1. 给定一个二叉树，使用后续遍历打印其节点的值。

2. 判断一个给定的序列是否是一个有效的后续遍历序列。

3. 使用后续遍历序列重建二叉树。

十六、延伸阅读

[维基百科：后续遍历](

[GeeksforGeeks：后续遍历](

[LeetCode：验证二叉树的后序遍历序列](